- Je dis ce que je sais dit M. de Re.
- Je décris ce que je crois répond M. de Dicto.

Le langage, la syntaxe et l'axiomatique de la logique contextuelle L_c sont ceux de la logique propositionnelle L_p (ou tout ordre langage classique - L_p est choisi dans un but pédagogique). L'ensemble infini dénombrable des variables propositionnelles, noté P, est décomposé en une infinité d'ensembles infinis dénombrables de variables propositionnelles et disjoints deux à deux. Ils sont notés P₀, P₁, ..., P_n, ... 

Les connecteurs sont le connecteur de négation, noté ¬, de disjonction, noté |, de conjonction, noté ^, d'implication, noté ->, et d'équivalence, noté <->. 

Nous utiliserons les symboles classiques de parenthèses. L'ensemble des formules bien formées de L_p et noté W_Lp. 

W_i (pour i un nombre entier) est l'ensemble des formules bien formées de L_p construites sur P_i.

Définition 1  Une formule (ou une connaissance) contextuelle est une expression de la forme : p_i+1 -> f_i pour p_i+1 une variable propostionnelle de P_i+1, et f_i une formule de W_i.

Remarquons que c'est l'unique certitude qu'il est possible d'écrire dans L_c, puisque le langage est restreint à ce type de formule. On obtient donc immédiatement le résultat suivant :

Propriété 1 Soient E_c un ensemble contextuel, et C une conjonction de variables propositionnelles. Alors E est consistant, et C n'est pas une conséquence de E_c.

• E_c est consistant : cela assure que tout ensemble de formules est logiquement cohérent (sans préjuger de la cohérence de sens commun). Cela a au moins deux conséquences :
• d'une part, une distinction explicite est faite entre sens commun et sens logique. C'est une réponse au problème du sens des connecteurs,
• d'autre part, le maintien de la consistance logique permet d'échapper, lors de l'arrivée d'une nouvelle information, au test de la consistance. Pratiquement, il nécessite beaucoup de temps de calcul - argument non suffisant mais néanmoins majeur. D'autre part, il engendre des problèmes de choix qui n'ont toujours pas été résolu dans le cas général. Pour L_c, ces problèmes relèvent d'un problème de contexte de référence, qui est indépendant du contenu de la base de connaissances,

• C n'est pas une conséquence logique de E_c : cette propriété permet de vérifier qu'il n'est pas possible de produire une certitude à partir d'une ensemble contextuel.

Définition 2 Une croyance est une conjonction finie de variables propositionnelles appartenant à un ensemble P_{i, pour i dans {0,1,...,n,...}}. L'ensemble des croyances est noté W_cr.

Définition 3 Une croyance contextuelle (ou un contexte) est une conjonction finie de croyances. L'ensemble des contextes est noté W_co.

Propriété 2 Un ensemble contextuel ne modélise pas les croyances, mais uniquement les connaissances qui les décrivent à partir des autres croyances.

Cette remarque justifie à notre sens la décomposition de l'ensemble P.
 

Arnaud Kohler arnaud.kohler@pacariane.com